Cualquiera puede decir si un objeto es plano o redondo, si una línea es recta o curva. Basta con un solo vistazo. ¿Pero y si no pudiéramos verlos? Probablemente los tocaríamos. Claro, cuando los objetos en cuestión son realmente muy grandes, tendríamos algunas dificultades, pero imaginaríamos fácilmente métodos para superarlas.
Liviu Ornea
¿Pero y si los objetos a los que aludimos no se pueden ver o palpar? En otras palabras ¿si no nos pudiéramos colocar fuera de los objetos para observarlos, si fuéramos parte de los objetos mismos cuya forma queremos comprender? ¿Cómo determinamos la forma de un objeto cuando los sentidos no nos pueden ayudar? ¿Cómo adivinamos la forma del universo?
El primero en comprenderlo – o al menos el primero que lo describió por escrito explícitamente – fue Karl Friedrich Gauss, el Consejero Áulico de Götingen: la forma (la curvatura) es una propiedad intrínseca. Él no solamente comprendió este hecho sino que intuyó también la extraordinaria importancia del resultado, al que llamó: “Teorema importante” (es el único enunciado de un denso trabajo de investigación de alrededor de treinta páginas al que le proporcionó este titular) dándole varias demostraciones.
¿Pero cuál es la definición formal de la curvatura? Son posibles más definiciones, todas equivalentes. La que utilizaba Gauss, hoy llamada gaussianna es muy natural. Imaginemos una porción de superficie. En cualquiera de sus puntos elevamos un segmento perpendicular en el plano tangente en ese punto, de longitud 1, intentando guardar la misma orientación para todos los segmentos. Después trasladamos todos estos segmentos al centro de una esfera fija de radio 1. Sus puntas alcanzan una porción de la superficie de la esfera. Medimos esta área (por integración, porque tenemos que ver con un fragmento de forma irregular). El valor resultado será la curvatura total de la porción inicial de superficie. Está, intuitivamente, claro que una superficie será más curvada a medida que los vectores normales trasladados cubren una superficie más plana en la esfera. Después Gauss calculó la curvatura total de un triángulo cuyos lados son líneas geodésicas (las líneas más cortas entre cualquier dos de sus puntos, arcos de meridiano en la esfera) y obtuvo un valor igual con el exceso de la suma de los ángulos de los triángulos frente a 180 grados. En particular, un área está curvada positivamente (respectivamente negativamente) sólo y únicamente sólo si la suma de los ángulos de los triángulos geodésicos es estrictamente más grande (respectivamente más pequeña) que la suma de los ángulos de un triángulo plano. Así, la geometría no euclidiana hiperbólica, fundada por Lobacevski y Bolyai, se puede modular sobre una superficie con curvatura constantemente negativa, por ejemplo en una pseudoesfera.
¿Que supone de hecho el resultado de Gauss? A causa de que los ángulos de un triángulo pueden ser determinados a partir de la longitud de sus lados, para conocer la curvatura es suficiente saber la medida de la longitud sobre la superficie. Como Gauss trabajaba sólo con superficies hundidas en el espacio ambiental (euclidiano), el cálculo de la longitud del espacio de tres dimensiones era automáticamente inducido en la superficie, la modalidad de medición y, consecuentemente la curvatura siendo intrínsecas a la superficie. Prácticamente Gauss decía que seres imaginarios bidimensionales que pudieran vivir en una superficie (no encima), sin poder percibir el mundo exterior, podrían determinar la curvatura de su mundo por simples mediciones de longitudes. Efectivamente, el aplicó su resultado, calculando con gran precisión para aquellos tiempos (la investigación de Gauss se publicó en latín en 1827) la curvatura de la Tierra.
El siguiente paso lo dio Bernhardt Riemann en el año 1854, en la conferencia sostenida en Götingen con la ocasión de la habilitación. La temática fue propuesta por Gauss: “Sobre las hipótesis que sientan las bases de la geometría”. Riemann trabaja sobre variedades (que él mismo definió), espacios con n dimensiones que se parecen localmente a un espacio euclidiano con similares dimensiones en cuanto a número. Por ejemplo, una variedad bidimensional es una superficie. Define luego la curvatura de una variedad (hoy llamada riemanniana) en sus direcciones de superficie (la curvatura del espacio es nula porque todas las secciones planas tienes curvatura gaussiana nula), extendiendo, prácticamente, la definición de Gauss y enseña que para calcularla es suficiente saber como calcular longitudes sobre variedad. Pero, a diferencia de Gauss, el ya no supone que las variedades estarían hundidas en un espacio ambiente, así que la modalidad de medición ya no está prescrita. La modalidad tiene que ser escogida, postulada1. En el caso del espacio de tres dimensiones, al menos a pequeña escala, teniendo en cuenta las observaciones físicas, la receta de la medición es la euclidiana y la curvatura resulta nula. Pero nadie nos impide imaginarnos otros espacios, no euclidianos, en los cuales postular otro modo de cálculo de la longitud. Es más, todavía sobre la misma variedad podemos considerar modalidades diferentes de medición que llevan a curvaturas diferentes. Observamos pues que la forma ya no se corresponde íntimamente al objeto, sino al modo de medir las longitudes sobre ese objeto.
Nuestro universo era imaginado a partir de Einstein y Minkowski, como una variedad de cuatro dimensiones (espacio – tiempo). Pero existen nuevas teorías – de las (super)cuerdas, teorías M – que utilizan variaciones con más dimensiones. Para conocer la curvatura del universo tendríamos que saber medir longitudes. Ningún problema a escala humana. ¿Pero en la escala infinitesimal o cósmica? Lo que ahora aspiran los matemáticos y los físicos es intentar, a partir de las observaciones hechas, de su extrapolación, adivinar el número de dimensiones y la modalidad correcta de medición. Ofrecer modelos de universo. ¿Hace falta comentar que ninguno de los modelos propuestos hasta ahora no está considerado enteramente satisfactorio?
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1 Afirmar en 1854 que el espacio no es una noción a priori suponía un gran valor. De la correspondencia de Gauss se puede deducir que él también había llegado a las conclusiones de Riemann, pero no las publicó por miedo al escándalo. Una muy atractiva puesta en escena de los diálogos más que encendidos acerca de la posibilidad de la existencia de las geometrías no euclidianas la encontramos en el libro de Toth Imre, „Palimpsest”.
Traducción de Fabianni Belemuski
Liviu Ornea
Liviu Ornea es matemático y escritor, nacido en Bucarest en 1960. Es Profesor Doctor en Matemática en la Universidad de Bucarest, con una amplía proyección internacional, habiendo dado conferencias y participado en simposiones de matemática en muchos países: (Roma – La Sapienza (1991, 1994, 1998, 2000, 2002, 2003, 2006), Bruxelles – U.L.B. (1993, 1997, 2002), Leuven (1993, 2002), Lecce (1994), Potenza (1994, 1997, 1998, 2002, 2006), Palermo (1994), Debrecen (1996), Cagliari (1997, 1999, 2000), Mulhouse, Nice, Angers, Bonn (1998), Paris 7 (1998, 2003), Ochanomizu (Tokio) (1999), ICTP Trieste (1999), ESI Vienna (1999, 2003), Tokyo Metropolitan (1999, 2000, 2001, 2009), EPFL (2001), Brest (2003), New Mexico – Albuquerque, California – Riverside (2003, 2004), Ecole Polytechnique – Paris (2003, 2004), Nancy (2003, 2004), Minnesota – Minneapolis (2005), Miami (2005), Pescara (2006, 2008), Glasgow (2007), Edinburgh (2007), Waterloo (2007), Universite de Quebec a Montreal (2007), Steklov Inst. (2007, 2009), Firenze (2008), Parma (2008), Lille (2008).
Es autor de estudios de matemática pero también de artículos con carácter cultural publicadas en revistas como: Scena, Teatrul Azi, Dilema, Dilema veche, Observator cultural, Okean, Cuvintul y de traducciones del francés. En 2008 ha publicado el libro de ensayos „Variedades conexas” (Ed. Curtea Veche, Bucarest).
